Текст выделенный курсивом

Печенька

Преобразование Фурье (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, вообще говоря, комплексной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами (подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в виде суммы музыкальных звуков, которые его составляют).

Преобразование Фурье функции {\displaystyle f}f вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\omega }\,dx.}{\hat {f}}(\omega )={\frac {1}sqrt_2_pi}}\int \limits _infty^inftyf(x)e^ix_omega\,dx.

Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором множителя перед интегралом (так называемого нормировочного множителя, который относится к вопросу о нормировке преобразования Фурье), а также знака «−» в показателе экспоненты. Но вне зависимости от таких вариаций все свойства будут сохранять свою силу, хотя вид некоторых формул может измениться.

Применения Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

1) Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля, или, в наиболее общем, как дуализм Понтрягина). 2) Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование. 3) Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо).